일반가진의 응답, 컨볼루션 적분 유도 그리고 전달함수

이번 글에서는 일반가진에 의한 응답을 구하는 과정을 다루려고 합니다.

우선, 일반가진이란 주기적인 가진과 일시시적인 충격가진을 모두 포함한 임의의 가진을 의미합니다.

이러한 일반가진은 매순간의 충격가진의 총시간에 대한 적분으로 생각할 수 있습니다.

 

따라서 충격가진에 의한 시스템의 응답을 먼저 구하고 생각해보죠!!

시스템은 m-k시스템이라 가정하겠습니다.

 

1. 크기가 1인 충격량이 주어졌을 때 시스템의 응답

초기조건이 모두 0인 시스템에 충격량이 1인 충격가진이 주어졌다고 가정합니다.

초기조건을 0으로 한 이유는 자유진동을 하지 않게함으로써 자유진동에 의한 응답을 고려하지 않고 순수 충격가진에 의한 응답만을 보기 위함입니다.

이 때의 식은 아래와 같습니다.

하지만 충격은 매우짧은 순간에 일어나며 매우짧은 순간 직후, 충격은 사라지며 위치는 변하지 않고 속도만이 변하게 되는데 이 때의 속도는 1/m이 되어 시스템의 운동방정식을 아래와 같이 할 수 있습니다.

속도가 1/m이 되는 이유는 운동량보존법칙에 있습니다. 처음 정지해 있던 물체의 운동량은 0이였지만 충격량 1이 들어와 운동량은 1이 되며 따라서 물체의 속도는 1/m이 됩니다!

 

미분방정식을 풀어 x(t)를 구하면 아래와 같으며 이는 크기가 1인 충격량이 주어졌을 때의 시스템의 반응을 의미합니다.

이 때의 x(t)를 h(t)라고 정의합니다!

이 후 임의의 일반가진 f(t)를 매순간 충격량이 f(t)인 충격가진으로 할 때의 응답을 h(t)를 이용하여 나타내기 위함입니다.

2. 임의의 가진이 주어졌을 때 응답

임의의 가진 f(t)를 u(t)라고 가정하겠습니다.

충격량은 힘*시간입니다. 

특정시각 a에 작용하는 힘을 f(a), 충격 시간을 델타a 라고 하면 충격량은 f(a)*델타a 입니다.

앞서 크기가 1인 충격량의 반응을 h(t)라고 하였는데 특정 시각 a에의 반응은 h(t-a)라고 표현할 수 있습니다.

 

따라서 크기가 f(a)델타a인 충격량의 반응은 f(a)*델타a*h(t-a)가 됩니다.

3. 제어공학에서의 컨볼루션 적분

그런데 제어공학에서는 컨볼루션 적분을 라플라스 변환을 통해 곱으로 나타내었습니다.

그리고 h(t)는 H(s)가 되었고 이는 전달함수라고 정의하였습니다.

 

이 전달함수 H(s)는 크기가 1인 충격량에 의한 시스템의 동적반응의 라플라스 변환임을 알 수 있습니다!!!

 

4. 기계진동과 제어공학 : 내생각

기계진동에서는 주어지는 충격 혹은 주기가진에 의해 시스템이 파손되거나 손상되지 않도록 설계를 주 목표로 하는 것 같습니다. 이를 위한 설계 변수로써 고유진동수, 강성을 주로 다룹니다. 즉 가진 f(t)를 알고 시스템의 w, k를 조절해 반응 x(t)를 조절하는 것입니다.

 

제어공학에서는 원하는 응답 혹은 출력을 위해, 시스템의 안정성 확보를 위해 전달함수를 잘 조절합니다.

 

기계진동과 제어공학 모두 h(t) 혹은 H(s)를 시스템의 특성(강성, 고유진동수 등)을 이용해 조절하는 것에서 공통적입니다.

 

 

출처)

1. 한양대 KOCW 기계진동학 유홍희 교수님

http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=991726

기계진동학

2. 금오공대 KOCW 자동제어 노승훈 교수님

http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1188855

자동제어

 

감사합니다.