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  • [3차원운동-회전] 각운동량 보존법칙과 돌림힘(토크, 모멘트)정의
    고전역학1 2020. 5. 2. 15:30
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    들어가기에 앞서

    지금까지 1차원 운동에서 에너지보존&위치에너지, 진동과 충돌을 공부하고 

    지난 글에서 3차원에서의 에너지보존&위치에너지를 공부하였다.

    1차원에 충돌이 있다면 3차원에서는 조금 더 고차원적으로 회전이 가능하다.

     

    이번 글을 통해서 재료역학, 동역학에서 계속해서 등장하는 각운동량, 모멘트, 토크를 정확히 이해할 수 있을 것이다.

     

    이번 글 핵심요약

    -3차원에서 특별한 경우에만 보존되는 벡터량을 각운동량(angular momentum vector)이라고 정의하고 그 과정에서 돌림힘(Torque, Moment)을 정의한다.

    -돌림힘(Torque, Moment)이 있을 때, 각운동량은 변하고 이는 회전가속을 의미한다.

     

    1. 중심력이 작용할 때 각운동량은 보존된다.

    중심력이 작용하는 상황에서 식을 좀 변환시키면 보존되는 어떤 물리량을 발견할 수 있다.

     

    태양이 공간상에 고정되어 있고 이를 회전하는 지구를 생각해보자.

    이 때의 힘은 중심방향(태양쪽)으로 작용하고 이를 중심력(Central force)이라 하자.

     

    원점(태양)방향으로 지구에 작용하는 힘의 방향을 x벡터로 표시하자.

    뉴턴 제 2법칙으로 운동방정식을 세우고

    이후 양변에 x벡터를 cross product하면 중심력의 방향과 x벡터의 방향이 일치해 우변이 0이된다.

     

    여기서 좌변을 무언가의 미분으로 표현가능하다면

    3차원공간에서 중심력이 작용할 때 보존되는 물리량을 발견할 수 있다.

    이 보존되는 물리량을 각운동량이라고 정의한다.

     

    역학에서 보존되는 것들은 중요하다. 때문에 따로 정의를 함으로써 모셔둔다.

    에너지도 고립계에서 보존되기에 정의되었고

    운동량도 고립계(외부힘=0)에서 제 3법칙으로 보존되므로 정의되었다.

     

    3차원 공간에서는 중심력이 작용할 때, 각운동량(Angular momentum)이 보존된다.

     

    2. 중심력이 아닌 일반힘의 경우로 확장

     

     

     

     

     

     

     

    위에서의 식을 다시 가져왔다.

    이는 중심력이 작용하는 특별한 경우였다.

     

    이를 중심방향 힘이 아닌 임의의 방향의 힘(F)으로 바꾸고 

    중심방향 벡터 x를 r벡터로 바꾸어 표현하면 아래 식과 같다.

     

     

    이 때, 우변을 돌림힘으로 정의한다.

     

     

     

    즉, 돌림힘이 중심력이 아닌 힘으로 0이 아닐 때, 각운동량(L)은 변함을 알 수 있다.

     

    3. 정리

    3차원 공간에서 돌림힘이 있을 때 그 평면에 수직하는 벡터량인 각운동량이 변화한다.

    이는 돌림힘(토크, 모멘트)가 존재하면 회전가속이 일어남을 의미한다.

    돌림힘은 중심력이 작용할 때 0이 되며, 이때 각운동량은 보존된다.

     

     

    출처 : 한양대 KOCW 신상진 교수님 고전역학1 수업. 4차시 1차원요약, 3차원의 보존법칙

    http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1278694&ar=relateCourse

     

    고전역학1

     

    www.kocw.net

     

     

     

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