[고전역학] 3차원에서의 보존법칙

요약)

1차원에서와 달리 3차원에서는 위치에너지를 일반적으로 정의할 수 없다.

보존력이 작용하는 경우에만 3차원에서의 위치에너지를 정의할 수 있으며 

보존력이 작용할 때 3차원에서 에너지가 보존된다.

 

1. 1차원에서의 위치에너지 정의 이해

역학적에너지 보존법칙과 위치에너지정의, 그리고 미분방정식

뉴턴 제 2법칙으로부터 1차원에서 역학적에너지 보존을 유도하는 과정에서 

미분하고 (-)취하니 힘이 되는 것을 위치에너지라 정의하였습니다.

이를 적분으로 표현하면 다음과 같습니다.

 

이는 3차원 공간상의 기준점 1에서부터 2까지 힘이 한 일에 마이너스를 붙인 것으로 생각할 수 있고

1차원에서는 그 경로가 하나의 직선밖에 없지만 3차원에서는 그 경로가 무수히 많아 위치에너지를 정의할 수 없습니다.

 

2. 일단 그냥 존재한다고 가정해!

가정 ) 3차원 공간상의 한 점에 대해 하나의 값만 가지는 V가 존재한다.

이 가정을 가지고 에너지보존법칙이 가능한 경우를 계산하는데

 

신기하게도 에너지보존법칙이 성립할 때, V(위치에너지)도 경로에 독립하면서 V가 정의됩니다.

 

역학적에너지 보존법칙이 성립하기 위한 조건은 F에 관한 조건입니다.

어떤 스칼라의 그래디언트 된 힘이 작용했을 때만 역학적 에너지가 보존되며 

이 힘을 우리가 가정한 위치에너지 정의의 F에 넣으면 경로에 독립함 역시 증명됩니다. 이 힘을 보존력이라고 부릅니다.

 

아래에 수업필기 사진을 첨부합니다.

 

출처) 한양대학교 KOCW 고전역학 신상진 교수님 강의