[고전역학] 미분방정식으로 보는 진동과 공명(feat.오일러 공식)

자유진동과 강제진동의 response를 미분방정식으로 구하고

가진진동수와 고유진동수가 근접할 때 나타나는 공명,

감쇠 혹은 공명에 의해 생기는 힘과 반응의 시간차 phase delay,

가진진동수와 진폭의 함수에서 알 수 있는 quality factor를 알아보겠습니다.

 

2계 선형 미분방정식에 대한 사전지식이 필요하며 간단한 풀이를 사진으로 첨부했습니다!

 

1. 자유진동

1)순수스프링(m-k system) 2)조화감쇠진동(m-c-k system)

(왼)오일러공식 간단한 증명

자유진동이란 시스템에 힘이 가해지지 않는 상태에서의 진동이며 

이 때의 운동방정식의 해를 통해서 시스템이 갖고 있는 고유의 움직임, 진동을 알 수 있습니다.

 

자유진동을 통해 구한 일반해를 보면

1)순수스프링인 m-k시스템에는 damping항(c항)이 없습니다. damping이 없기에 감쇠가 일어나지 않아 끊임없는 반복운동을 할 것이라 예상할 수 있고 그 해를 보면 x=A'cos(wnt)+B'sin(wnt)로 끊임없는 주기운동을 반복함을 확인할 수 있습니다.

 

2)조화감쇠진동인 m-c-k시스템에는 daming항(c항)이 존재하고 이는 일반적으로 마찰힘입니다. 이 경우 점차 진동이 줄어들 것을 물리적으로 생각할 수 있습니다. 그 해를 보면 exp(-rt)가 있어 t가 무한대로 가면 모두 x=0으로 감을 확인할 수 있습니다.

 

*m-c-k 시스템의 일반해는 시간이 지남에 따라 점차 감소하고 결국에는 0으로 수렴하는 transient(과도기적, 일시적)인 해입니다.

 

2. 강제진동(forced harmonic ocillator, 가진 조화 진동)

강제진동의 일반해는 제차해에 특수해를 더한 값입니다.

하지만 m-c-k시스템의 일반해는 시간이 지남에 따라 0으로 수렴합니다. 때문에 일정시간이 지난 정상상태(steady state)에서의 운동은 특수해에 따릅니다.

 

강제진동에서의 특수해를 살펴보면 phase delay이가 존재하는데 뎀핑항이 크거나 고유진동수가 가진진동수에 근접할 때(공진) 커집니다. 이는 물리적으로 어떤 힘을 주었을 때 시스템은 시간차를 두고 반응함을 의미합니다.

 

3. 공명과 Quality factor

A0(진동의 진폭)가 최대가 되기 위해 A0의 분모가 최소가 되어야 하고 이를 통해 구한 최대 A0일 때의 가진주파수 w2를 구할 수 있습니다. 또, 최소 A0는 분모가 최소일 때이며 가진진동수w=고유진동수wn일 때 입니다.

 

필기에서는 A0를 X0로 표기했습니다.

 

감마(r)가 작고 A0의 최소 최대의 비가 커 가진주파수-진폭 그래프가 뾰족할 수록 Quality factor가 큼을 의미합니다.

 

4. 만약 주어지는 힘이 비주기 함수라면?

지금까지는 가진력이 일정 가진주파수 w를 가졌습니다. 하지만 주어지는 힘이 충격과 같이 주어진다면??

이렇게 비주기적인 힘이 주어질 때 우리는 퓨리에 급수, 퓨리에 적분을 이용하여 비주기함수를 임의의 주기를 가지는 삼각함수의 선형조합으로 변환할 수 있습니다.

 

*Green function

가진력이 델타(t-t')으로 주어질 때의 m-c-k시스템의 해

 

 

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출처) 한양대 kocw 신상진 교수님의 고전역학1-2.진동자와 공명 수업