본문 바로가기
기계공학부 시절의 기록/고전역학1

[고전역학] 역학적에너지 보존법칙과 위치에너지정의, 그리고 미분방정식

by juhyeonglee 2020. 4. 28.
728x90
반응형

들어가기 전에, 역학의 목표이자 지금 듣고있는 고전역학의 목표를 생각하면

기계공학과 학생의 입장에서 4대역학의 근간이 되는 역학의 fundamental을 단단하게 다지기 위함이다.

뉴턴 제1,2,3 법칙이 왜 있는지, 위치에너지는 mgh라기 보다 그 의미가 무엇인지

4대역학에서 운동방정식의 출발점이 되는 뉴턴 제2법칙과 운동량보존법칙, 역학적에너지 보존법칙은 정말 무엇인지.

동역학적 시스템을 어떻게 모델링할 수 있을지를 고민하다가 고전역학을 알게되었다.

 

교수님은 물리는 일반물리에서 99%를 다뤘으며 물리를 우리가 사는 자연계에 적용하기 위해서는 수학이 필요하다고 하셨다. 자연계에서도 소수의 풀 수 있는 계를 통해 직관을 길러 풀 수 없는 계를 수치적으로 접근할 수 있다.

 

때문에 역학의 목표는 물리보다는 수학이며 미분방정식, 선형대수, 변분법이 큰 줄기가 된다.

 

1. 역학적에너지 보존법칙과 위치에너지 정의

뉴턴 제 2법칙으로 부터 출발하여 

어떤 무엇을 미분하고 (-)취하니 힘이 되더라!! --> 이를 위치에너지라 정의한다.

따라서 제 2법칙으로부터 역학적 에너지 보존법칙이 탄생한다.

2. 위치에너지를 좀 더 직관적으로 이해하기 위해 가장 간단하고 일반적인 현상인 용수철 힘을 공부한다.

먼저, 위치에너지를 가장 적합하게 떠올릴 수 있는 것은 언덕위의 공이다.

초기속도가 0으로 출발하는 지점에서 위치에너지는 최대가 되고 손실에너지(마찰, 열)이 없을 때 역학적에너지는 보존된다.

언덕 상에 존재하는 평형점(미분이 0이 되는 지점, 극점과 비슷) 근방에서 테일러급수로 표현하면 x제곱으로 나타낼 수 있다. 이 평형점 근방에서는 용수철 역학으로 생각할 수 있다.

 

평형점 근방에서 테일러 급수로 위치에너지가 x제곱임을 알았다.

 

위치에너지의 정의는 무언가를 미분하고 -취하니 힘이 되는 것이라 하였다. 

위치에너지가 2차이므로 미분한 힘은 1차, 선형함수가 된다.

 

용수철 힘, F=-kx가 바로 대표적인 1차로 나타나는 힘이며 이 용수철 힘의 위치에너지를 하모닉 Potential이라 부른다.

 

3. 용수철 운동방정식의 풀이 : 에너지 적분, 미분방정식

2.에서 알아봤듯이 용수철 힘 역학은 앞으로 많이 쓰일 것이다.

용수철의 운동방정식의 풀이를 연습해보자.

역학적에너지에서 적분을 통해 x를 구하는 방법과

좀 더 일반적인 2계 선형 상수계수 제차 미분방정식의 풀이 방법

두가지가 있다.

아래 사진으로 첨부하였다.

 

 

 

기계공학 전공 재료 열 유체 동 역학 응용역학 상담 드립니다. | 5000원부터 시작 가능한 총 평점 0

0개 총 작업 개수 완료한 총 평점 0점인 니즈서쳐의 직무역량, 기타 직무역량 레슨 서비스를 0개의 리뷰와 함께 확인해 보세요. 직무역량, 기타 직무역량 레슨 제공 등 5000원부터 시작 가능한 서

kmong.com

 

출처) 한양대학교 KOCW 고전역학 신상진 교수님 강의

728x90
반응형

댓글