[고전역학] 역학적에너지 보존법칙과 위치에너지정의, 그리고 미분방정식

들어가기 전에, 역학의 목표이자 지금 듣고있는 고전역학의 목표를 생각하면

기계공학과 학생의 입장에서 4대역학의 근간이 되는 역학의 fundamental을 단단하게 다지기 위함이다.

뉴턴 제1,2,3 법칙이 왜 있는지, 위치에너지는 mgh라기 보다 그 의미가 무엇인지

4대역학에서 운동방정식의 출발점이 되는 뉴턴 제2법칙과 운동량보존법칙, 역학적에너지 보존법칙은 정말 무엇인지.

동역학적 시스템을 어떻게 모델링할 수 있을지를 고민하다가 고전역학을 알게되었다.

 

교수님은 물리는 일반물리에서 99%를 다뤘으며 물리를 우리가 사는 자연계에 적용하기 위해서는 수학이 필요하다고 하셨다. 자연계에서도 소수의 풀 수 있는 계를 통해 직관을 길러 풀 수 없는 계를 수치적으로 접근할 수 있다.

 

때문에 역학의 목표는 물리보다는 수학이며 미분방정식, 선형대수, 변분법이 큰 줄기가 된다.

 

1. 역학적에너지 보존법칙과 위치에너지 정의

뉴턴 제 2법칙으로 부터 출발하여 

어떤 무엇을 미분하고 (-)취하니 힘이 되더라!! --> 이를 위치에너지라 정의한다.

따라서 제 2법칙으로부터 역학적 에너지 보존법칙이 탄생한다.

2. 위치에너지를 좀 더 직관적으로 이해하기 위해 가장 간단하고 일반적인 현상인 용수철 힘을 공부한다.

먼저, 위치에너지를 가장 적합하게 떠올릴 수 있는 것은 언덕위의 공이다.

초기속도가 0으로 출발하는 지점에서 위치에너지는 최대가 되고 손실에너지(마찰, 열)이 없을 때 역학적에너지는 보존된다.

언덕 상에 존재하는 평형점(미분이 0이 되는 지점, 극점과 비슷) 근방에서 테일러급수로 표현하면 x제곱으로 나타낼 수 있다. 이 평형점 근방에서는 용수철 역학으로 생각할 수 있다.

 

평형점 근방에서 테일러 급수로 위치에너지가 x제곱임을 알았다.

 

위치에너지의 정의는 무언가를 미분하고 -취하니 힘이 되는 것이라 하였다. 

위치에너지가 2차이므로 미분한 힘은 1차, 선형함수가 된다.

 

용수철 힘, F=-kx가 바로 대표적인 1차로 나타나는 힘이며 이 용수철 힘의 위치에너지를 하모닉 Potential이라 부른다.

 

3. 용수철 운동방정식의 풀이 : 에너지 적분, 미분방정식

2.에서 알아봤듯이 용수철 힘 역학은 앞으로 많이 쓰일 것이다.

용수철의 운동방정식의 풀이를 연습해보자.

역학적에너지에서 적분을 통해 x를 구하는 방법과

좀 더 일반적인 2계 선형 상수계수 제차 미분방정식의 풀이 방법

두가지가 있다.

아래 사진으로 첨부하였다.

 

 

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출처) 한양대학교 KOCW 고전역학 신상진 교수님 강의