ABOUT ME

-

Today
-
Yesterday
-
Total
-
  • 물질도함수, 라그랑지안이야 오일러야???
    유체역학2 2020. 5. 4. 02:21

    라그랑지안과 오일러 관점이 각각 뭔지에 관한 글들은 많았지만

    물질도함수가 결국 어떤 관점인지, 어떤 의미인지는 잘 이해하기 힘들었다.

     

    결론은 둘 다 섞여있다.

    너무 헷갈렸다.

     

    유체의 특별한 성질 때문에 기존에 가속도=dv/dt가 아닌 물질도함수가 등장한다.

     

    물질도함수 = 시간에 따른 속도장 자체의 변화량(국소가속도, 오일러관점)

    + 위치에 따른 유체입자의 속도 변화량(대류가속도, 라그랑지안 관점)

     

    강체를 다룰때는 질점이라는 개념을 생각할 수 있었지만

    유체는 하나의 점으로 생각할 수 없다. 공간에 꽉 들어찬다.

     

    공간상의 각 위치마다 속도가 다르며 그렇게 만들어진 공간상의 속도장은 시간에 따라 변할 수 있다.

    따라서 유체의 속도는 시간과 위치의 함수이다.

    그래서 속도를 시간에 대해 미분하면 dv/dt가 아니라 위치에 따른 변화량 텀이 더 존재한다.

     

    물질도함수(실질도함수)를 소개한다.

     

     

     

     

     

     

     

     

    전공책 내용

    국소가속도 : 주어진 점에서(오일러 관점) 속도의 시간에 대한 변화량

    대류가속도 : 유적선(라그랑지안 관점)을 따라 입자가 이동함에 따른 속도의 (위치에 따른) 변화

     

    출처 : WILEY 유체역학 5판 홍릉과학출판사 p.126

    728x90
    반응형

    댓글 5

    • 2021.07.21 16:55

      비밀댓글입니다

    • 감사합니다 2021.08.19 14:57

      안녕하세요. 글 잘봤습니다. 도움이 많이 되었고 궁금한게 있습니다. 오일러리안 관점에서 V=V(x,y,z,t)로 4개의 독립변수로 표현하게 되는데 물질도함수를 통해 가속도를 구하게 되면 dx/dt, dy/dt, dz/dt와 같은 텀이 나오게 됩니다. x,y,z와 t는 독립 변수인데 어떻게 미분이 가능한건지 궁금합니다. x가 t에 관한 종속변수인건가요?? 오래된 고민인데 글 남깁니다..

      • 니즈서쳐 juhyeonglee 2021.08.22 01:15 신고

        도움이 많이 되었다니 기쁩니다ㅎㅎ

        제 답변의 결론은 '하나의 입자가 해당 속도장에 들어왔을 때, 그 입자의 위치는 시간에 종속합니다.'입니다.

        속도장을 가속장으로 유도하는 과정에서 교과서는 하나의 입자가 이 속도장에 들어왔다고 가정합니다. 해당 입자의 가속도를 수식으로 나타내고 공간 상의 모든 입자에 대해 일반화가 가능하다고 하며 가속도장을 유도합니다.

        엥? 물질도함수는 오일러관점인데 저건 라그랑지안 느낌이잖아라는 생각이 들 것 같습니다.

        물질도함수가 오일러 관점에서 도출된 것은 맞지만, 라그랑지안 관점에서 바라볼 수 있기에 헷갈리는 점이라고 생각합니다.(교과서의 유도과정을 보며 생각한 순전히 제 생각입니다^^)

        온전히 오일러관점에서 바라봤을 때는,
        특정 시점 t에서 공간상의 모든 (x,y,z)의 속도를 안다면 특정 시점 t에서의 속도장을 안다고 할 수 있습니다.
        이 관점에서는 x,y,z,t가 모두 독립적입니다.

        라그랑지안 관점에서 물질도함수를 바라본다는 것에 관해서 아래의 식이 있습니다.
        V_a = V_a(x_a,y_a,z_a,t)
        좌변 : 하나의 입자의 시간에 따른 속도(라그랑지안),
        우변 : 속도장을 통한 입자 a의 속도입니다.
        즉, 하나의 입자의 속도를 속도장을 통해서 구할 수 있을 때, 해당 입자는 시간에 따라 위치이동을 하고, 이러한 관점에서 입자의 위치는 시간에 종속합니다.

      • 감사합니다 2021.08.23 10:46

        우선 상세한 설명 감사드립니다.

        오랜 기간동안 헤매였던 내용이였는데 작성해주신 댓글 보고 이해가 된 것 같습니다ㅠㅠ.. 저희가 대중적으로 아는 가속도는 라그랑지안 관점에서 입자의 가속도이고, 그렇기 때문에 오일러관점에서 바라본 속도를 라그랑지안 관점에서 바라보는 과정에서 위치좌표와 시간 좌표 사이에 종속성이 생겼다라고 이해하였습니다! 글을 써보니 제 나름의 생각 정리가 더 필요할 것 같지만 이해에 많은 도움이 된 것 같아 감사하다는 말씀 드립니다..!

Designed by Tistory.