질량보존법칙에서 연속방정식을 유도하고 미분형으로 나타내기

흐르는 유체에서 특정 질량의 유체를 시스템으로 정의하면

그 시스템의 질량은 당연히 변하지 않습니다.

 

이를 지난 글에서 다룬 물질미분으로 표현하면 다음과 같습니다.

 

 

 

이제 레이놀즈수송정리를 이용해 유체를 더 이해하기 쉽게하기 위해 검사체적을 가져오겠습니다.

초기 시스템의 체적을 검사체적으로 잡고 그 검사체적을 시간에 따라 변하지 않는다고 가정하겠습니다.

아래의 그림을 보면 시스템(임의의 질량의 관심 유체)이 처음에는 빨간모양으로 있습니다.

 

이 때의 부피를 검사체적으로 잡으면 시간이 지나 유체가 흐른뒤의 시스템은 파란색이고 검사체적은 공간에 고정되어 있으므로 빨간색입니다.

이 때, 시스템의 질량은 여전히 변함이 없으며 이를 검사체적을 통해 나타낼 수 있습니다.

 

레이놀즈 수송정리

 

따라서 (시스템의 총질량 변화) = (검사체적 내부의 시간에 따른 질량변화량) + (검사체적에서 나가는 유량) - (검사체적으로 들어오는 유량) 입니다.(이 때 주의할 점은 검사체적의 면과 속도는 수직해야 합니다.)

즉, 새로운 유체가 검사체적으로 들어옴에 따라 검사체적 밖으로 나간 질량유량(질량/sec)을 더하고 들어온 새 질량유량을 빼주고 검사체적 안에서 자체적으로 변한 질량변화율을 더하면 총 질량변화율이며 이는 0이라는 것입니다.

 

 

 

 

 

이렇게 검사체적으로 질량보존을 나타내는 중간의 식이 바로 연속방정식입니다.

 

 

이제 이 연속방정식을 더 간단하게 만들고 물리적으로 이해해보려고 합니다!!

 

매우 작고 정지된 육면체 모양을 검사체적으로 잡고 이 연속방정식을 정리해보겠습니다.

1. 첫째항 정리

 

 

검사체적은 크기가 일정하므로 시간미분에 있어서 상수취급

 

첫째항은 위와 같이 미분으로 간단히 정리가 되었습니다.

 

2.둘째, 셋째항 정리

둘째 셋째항은 검사체적 표면을 통해 증감한 질량유량(kg/sec)으로 이를 미분으로 간단히 정리해보겠습니다.

 

 

한변이 델타x, 델타y, 델타z인 미소체적이 아래와 같이 있고

x방향으로는 x방향 속도만, y방향으로는 y방향 속도, z 방향으로 z방향 속도만 선형적으로 변한다고 가정합니다.

그리고 각 축에 대해서 각각 질량유량의 증감을 나타냅니다.

 

x방향 : 왼쪽 측면에서 질량유량이 델타x거리 만큼 이동했을 때  늘어난 유량은 아래와 같으며 y방향 z방향 역시 동일한 방법으로 증감합니다.

 

 

3. 첫째항 둘째 셋째항 다 더하고 조건 추가하기

따라서 검사체적으로 나타낸 연속방정식을 미분으로 다시 나타내어 보면 아래식과 같습니다. 

 

 

연속방정식. 조건 없이 유도했으므로 이 식에서 정상 혹은 비정상, 압축성 비압축성 유체일 때 변환가능하다.

자 이제 위 식으로부터 정상&압축성 일 때와 비압축성 일 때의 방정식이 각각 어떻게 되는지 알아보겠습니다.

 

 

CASE1) 가정. 정상유동 & 압축성

정상&압축성 일 때의 연속방정식 : 밀도의 시간 편미분은 0

 

 

CASE2) 가정. 비압축성

 

비압축성(밀도=일정) 일 때의 연속방정식

 

 

!!!!!!

비압축성일 때의 연속방정식 = 체적팽창률(volumetric dilatation rate) = 0 입니다!!

즉, 비압축성 유체의 경우에 질량보존으로 연속방정식은 체적팽창률과 같으며 0이며 체적은 변하지 않습니다.

 

지난 유체의 변형의 글에서 비압축성의 경우 질량보존의 법칙에 따라 체적팽창률=0 이었습니다.

 

다음은 마치 퍼텐셜과 비슷한 유동함수를 다루고 원통좌표계를 통해 유동함수를 나타내보겠습니다.

 

감사합니다.

 

 

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출처) YOUNG MUNSON OKIISHI HUEBSCH 쉽게배우는 유체역학 5판 (WILEY, 홍릉과학출판사)