미분형 선형운동량 방정식, 왜 필요해?

선형운동량방정식은 검사체적, 미분을 이용해 각각 나타낼 수 있습니다.

 

검사체적 선형운동량방정식

유체의 운동을 관찰하고 그로부터 유체의 움직임에 의해 수로관이나 비행기의 날개가 받는 힘을 우리는 유체의 선형운동량방정식을 통해서 구할 수 있습니다.

 

예를 들어서 유체가 흐르는 수로관이 있습니다. 유체가 흐르기 때문에 수로관을 고정시키기 위한 힘을 알면 효율적으로 수로관 고정 설계를 할 수 있습니다. 이 때는 수로관 내부의 세세한 유동보다는 수로관 입출입구의 표면에서의 조건들만을 이용해 그 힘을 구할 수 있습니다. 이것이 바로 유동 내부보다는 검사체적의 표면에 집중한 선형운동량방정식이며 대부분의 경우 이러한 방법을 적용할 수 있습니다.

임의의 검사체적에 적용할 수 있는 선형운동량 방정식

 

 

미분형 선형운동량 방정식

하지만 유체가 파이프 내부에서 속도가 어떻게 변하는지, 비행기 날개표면에는 어떤 영향을 주는지와 같은 경우에는 매우 세세한 분석이 필요합니다. 이 때 미분형 선형운동량 방정식이 쓰입니다.

 

미분형 선형운동량 방정식 : 유체나 고체, 움직이거나 정지해있거나 관계없이 모두에 적용가능

 

미분형 선형운동량 방정식 유도

시스템이 받는 힘은 시스템의 운동량을 변화시킨다. 시스템:임의로 정한 일정질량의 유체, 운동량보존법칙 기반

위 식에서부터 출발합니다. (외부힘이 운동량의 변화를 일으킴은 아래 글에서 이해할 수 있습니다.)

뉴턴 제1,2,3법칙의 연관성과 운동량보존법칙

 

아주 미세한 유체를 살피기 위해 미소질량 델타m을 가진 유체를 생각합니다.

이 미소 유체는 델타F를 받고 매우 미소한 질량이므로 델타m은 상수취급할 수 있습니다.

DV/Dt : 물질도함수, 아래 링크 참고

F=ma입니다. 먼저 좌변, 미소 유체 질량에 작용하는 총 힘을 구하고 이것이 ma이다!(뉴턴 제 2법칙)

이것이 큰 줄기입니다.

 

 

총 힘을 구하기 위해 어떤 힘들이 작용하는지 알아보겠습니다. 기계과에서 다루는 힘은 크게 체적력과 장력, 이 2가지로 나뉩니다.

기계공학에서 다루는 힘은 크게 장력(field force)과 표면력(surface force)로 나뉜다. 장력에는 중력, 전자기력 등이 있으며 표면력에는 마찰력 등이 있다.

미소 질량을 가진 미소 유체에 대해서 표면력을 응력의 개념을 이용하여 구합니다.(응력=힘/면적 ---> 힘=응력*면적)

이후는 필기를 첨부하겠습니다!

 

 

 

 

미분형 선형운동량 방정식 : 유체나 고체, 움직이거나 정지해있거나 관계없이 모두에 적용가능

좌변은 본 글에서 구한 힘들의 합, 우변은 유체의 운동학에서 물질미분으로 구했던 유체의 가속도입니다.

 

 

감사합니다.

 

 

 

출처)

YOUNG MUNSON OKIISHI HUEBSCH 쉽게배우는 유체역학 5판 (WILEY, 홍릉과학출판사)

 

참고)금오공대 KOCW 유체역학2 박준영 교수님 선형운동량보존

유체역학2