오일러 운동방정식으로부터 베르누이방정식 유도

지난 글에서 운동방정식에서 비점성을 가정하여 오일러 운동방정식을 유도하였고 이번 글에서는 베르누이 방정식을 유도합니다.

오일러 운동방정식(Euler motion equation) 유도하기

오일러 운동방정식(=비점성 운동방정식)

가정0. 비점성 유동 : 오일러 운동방정식은 비점성을 가정하므로

가정1. 정상 유동

정상유동일 때 속도장은 시간에 대해 일정하므로

따라서 정상 유동일 때의 오일러 운동방정식은 아래와 같습니다.

정상유동. 오일러 운동방정식

수학적 변형 1,2

이를 정상유동의 오일러 운동방정식에 대입하면 아래와 같습니다.

수학적 변형 3 : 양변에 유선방향의 미소 길이벡터 ds를 내적

이 때, 위 식의 첫째 항부터 정리를 해보면 델z 돗 ds는

델p 돗 ds는

델v제곱 돗 ds는

우변은

따라서 이를 모두 다 정리하면!!! 아래와 같습니다.

ds가 유선을 따르는 미소거리였으므로 이를 유선을 따라 적분합니다.

 

가정3. 유선을 따라 적분

그리고 좌변의 첫번째 항에서 1/밀도가 상수로써 적분밖으로 나와 간단히 표현되기 위해 비압축성 유동으로 가정합니다.

 

가정4. 비압축성 유동 : 밀도 일정

 

유선을 따라 적용할 수 있는 베르누이방정식

 

정리하면

가정0. 비점성 유동 : 오일러 운동방정식은 비점성을 가정하므로

가정1. 정상 유동

가정3. 유선을 따라 적분

가정4. 비압축성 유동 : 밀도 일정

 

이 4개의 가정으로 베르누이 방정식을 오일러방정식으로부터 유도하였습니다.

 

감사합니다.

 

 

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출처)

YOUNG MUNSON OKIISHI HUEBSCH 쉽게배우는 유체역학 5판 (WILEY, 홍릉과학출판사)

 

금오공대 KOCW 유체역학2 박준영 교수님 비점성유동

http://www.kocw.net/home/cview.do?lid=dd24d2e7aa7876ab

유체역학2