오일러 운동방정식(Euler motion equation) 유도하기

 

지금까지 크게 두가지를 공부했습니다.

질량보존으로부터 연속방정식을 공부했고

질량보존법칙에서 연속방정식을 유도하고 미분형으로 나타내기

뉴턴 제2법칙으로부터의 운동방정식을 공부했습니다.

미분형 선형운동량 방정식, 왜 필요해?

 

오늘은 뉴턴 2법칙으로부터의 운동방정식에 비점성 조건을 추가하여 오일러 운동방정식을 유도할 것입니다.

 

운동방정식

 

위 식이 바로 지난 뉴턴 제 2법칙으로부터 구한 유체의 운동방정식입니다.

 

가정1. 비점성 유체

여기에 비점성 조건을 가정합니다.

점성이 큰 유체는 꿀과 같이 끈적한 유체입니다. 이러한 점성을 무시할 수 있는 유체에는 물과 공기를 예로 들 수 있는데요, 비점성을 가정한다는 것은 전단응력을 무시하겠다는 의미입니다. 따라서 타우가 있는 항은 모두 소거가 됩니다.

또, 전단응력이 없는 유체 내의 한 점에 작용하는 수직응력은 모든 방향에 대해 동일하다.(파스칼의 정리)에 의해 x,y,z축방향의 수직응력들은 모두 -압력인 -p로 표현될 수 있습니다. 이 때의 -는 응력의 +는 인장이지만 압력의 +방향은 압축이기 때문입니다.

이를 적용하면 아래와 같습니다.

 

오일러 운동방정식

오일러 운동방정식(=비점성 운동방정식)

 

이를 벡터를 이용해 간단히 표현하면 아래와 같습니다.

오일러 운동방정식

이 오일러 운동방정식은 비점성 유체를 가정한 것임을 유의하여야 합니다.

 

다음글에서는 이 오일러 운동방정식으로부터 수학적 변환을 통해 베르누이방정식을 유도하도록 하겠습니다.

 

감사합니다.

 

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출처)

YOUNG MUNSON OKIISHI HUEBSCH 쉽게배우는 유체역학 5판 (WILEY, 홍릉과학출판사)

 

금오공대 KOCW 유체역학2 박준영 교수님 비점성유동

http://www.kocw.net/home/cview.do?lid=dd24d2e7aa7876ab

유체역학2