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기계공학부 시절의 기록/유체역학2

비회전 유동일 때, 베르누이(Bernoulli)방정식과 속도 포텐셜

by juhyeonglee 2020. 6. 1.
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1. 비회전 유동의 의미와 수학적 정의

비회전 유동이라는 것은 어떤 것일까요?

비회전 유동이라는 것은 유체 입자가 회전하지 않고 운동하는 유동을 의미합니다.

 

유선이 곡선이지만 유체입자는 회전하지 않고 유선을 따라 흐를 수 있습니다.

유선이 직선이지만 유체입자는 회전하며 유선을 따라 흐를 수도 있습니다.

 

비회전의 수학적 정의

 

 

비회전 유동일 때 베르누이 방정식의 제약조건 유선을 따라서만 적용 가능함이 사라지고, 속도포텐셜이 존재할 수 있습니다.

 

2. 비회전 유동의 베르누이방정식

비점성 유체를 가정한 오일러 운동방정식에서 정상상태가정, 비압축성 가정을 하였을 때 V X 델 X V (X:크로스곱)을 0으로 만들기 위해 유선방향의 미소길이 ds를 곱했지만 비회전일 경우 델 X V = 0 이므로 ds가 굳이 유선방향이 아니여도 된다. 따라서 유동장 전체에 걸쳐서 베르누이방정식을 적용할 수 있다.

비점성, 정상상태, 비압축성, 비회전의 베르누이방정식. 유동장전체에 걸쳐 적용가능하다.(유선을 따라서만 적용할 필요 없다.)

 

3. 속도 포텐셜

속도 포텐셜은 마치 보존력이 작용할 때 존재하는 포텐셜의 개념과 유사합니다.

 

Potential Theory (퍼텐셜 이론)

지난번 뉴턴 1,2,3법칙의 연관성 글과 3차원에서의 에너지보존, 위치에너지 정의 글에서 퍼텐셜에너지를 다루었습니다. 역학적에너지 보존법칙과 위치에너지정의, 그리고 미분방정식 들어가기 �

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간단히 정리하자면 3차원공간에서 위치에너지를 정의하기를 어떤 Scalar값(위치에너지)를 변위에 대해 미분하고 -를 곱한 값이 작용하는 힘이 될 때 공간상 두 지점사이를 하나의 함수, Potential로 정의할 수 있었고 그 힘 F = -gradient(V) 이므로 Curl(F)=0를 만족했습니다. 따라서 보존력인지 아닌지 확인하는 방법은 Curl(F)=0인지 확인하는 것이었습니다.

 

가정1. 비회전유동

마찬가지로 오늘 배운 유체의 속도장이 Curl(속도장 벡터)=0을 만족하는 비회전유동일 경우 해당 속도장의 Potential이 존재하고 이를 속도포텐셜이라 정의합니다. Curl(속도장 벡터)=0을 만족하기 위해서는 속도장벡터는 스칼라값의 미분이어야 합니다. 이를 표현한 것이 속도 포텐셜의 정의와 같습니다. 

 

속도퍼텐셜의 정의 (스칼라 표현)
속도퍼텐셜의 정의 (벡터 표현)

이 식은 위치에너지가 정의 되기 위한 필요충분조건과 거의 똑같습니다.

위치에너지의 필요충분조건

4. 유동함수와의 비교

 

유동함수를 통해 유량을 계산하고 원통좌표계로 표현하기

정상, 비정상, 압축성, 비압축성 모두에서 유효한 연속방정식에서 시작합니다. 여기서 정상상태, 비압축성, 평면, 즉 2차원 유동으로 가정합니다. 이는 가장 단순하면서도 실제에 유용하며 파이�

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유동함수는 연속방정식으로 부터 

가정1. 정상상태

가정2. 비압축성

가정3. 평면(2차원) 유동

이 3가지 조건을 취한 연속방정식에서 2차원 평면상에서 위치에 대해 하나의 스칼라 값을 가지는 함수를 정의하여 공간상에서 유동함수를 이용해 유동의 운동, 속도를 나타내었고 유선을 그릴 수 있었으며 유량역시 구할 수 있었습니다.

 

속도퍼텐셜은 비회전유동에 기인합니다.

그리고 이 속도퍼텐셜을 통해서 유동함수가 못하는 3차원에서의 유체운동을 나타낼 수 있습니다.

 

5. 라플라스 방정식

정상/비정상, 압축성/비압축성 모두에서 유효한 연속방정식(질량보존법칙)

위의 연속방정식으로부터 

가정1. 비압축성

을 적용하면 아래 식과 같습니다. 

비압축성. 연속방정식

가정2. 비회전 유동일때 속도퍼텐셜이 존재하고 이를 위 연속방정식에 대입하면 라플라스방정식입니다.

라플라스방정식

 

정리하면

가정1. 비압축성

가정2. 비회전 유동

의 경우에 라플라스 방정식을 쓸 수 있으며 

가정3. 비점성 유체 를 추가하면 전체 유동장에 대해 베르누이방정식을 적용할 수 있습니다.

 

감사합니다.

 

 

 

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출처)

YOUNG MUNSON OKIISHI HUEBSCH 쉽게배우는 유체역학 5판 (WILEY, 홍릉과학출판사)

 

금오공대 KOCW 유체역학2 박준영 교수님 비점성유동

http://www.kocw.net/home/cview.do?lid=dd24d2e7aa7876ab

 

유체역학2

본 과제는 공학분야 중에 기본 소양과목에 해당하는 유체역학에 대한 원거리 교육 및 능동적인 자가 학습이 가능한 Interactive교육을 제공하고 유체역학1과 2의 연계에 의한 학습효과 상승을 그 ��

www.kocw.net

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댓글2

  • 최재영 2020.07.31 13:53

    질문 드려도 되나요?
    속도포텐셜이 정의되는 상태에서
    즉 Curl V=0이 되면
    베르누이 방정식은 유선을 따라서 적용되는 제약을 풀어서 유동장 전체에서 적용이 가능한가요?
    그리고 점성저층에 대해서도 질문드려도 되나요?

    답글

  • juhyeonglee 2020.08.02 15:07 신고

    네 맞습니다. 비회전유동, 비압축성의 조건하에서 베르누이방정식은 유동장 전체에 대해 적용이 가능합니다.
    점성저층에 대해서는 제가 지식이 부족해서 답변이 힘들것 같아요ㅎㅎ
    답글