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기계공학부 시절의 기록/고전역학1

[고전역학] 중력장의 Potential 함수 구하기

by juhyeonglee 2020. 5. 7.
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Potential Theory (퍼텐셜 이론)

지난번 뉴턴 1,2,3법칙의 연관성 글과 3차원에서의 에너지보존, 위치에너지 정의 글에서 퍼텐셜에너지를 다루었습니다. 역학적에너지 보존법칙과 위치에너지정의, 그리고 미분방정식 들어가기 전에, 역학의 목표이..

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에너지가 보존을 보이기 위해 위치에너지를 정의하고

위치에너지가 존재하기 위해서는 그 적분이 경로에 독립해야하며

경로에 독립하기 위해서는 Curl(F)=0이어야 했다.

그리고 Curl(F)=0에 필요충분한 조건이 F=-Gradient(V)였다.

 

이 조건들을 이용해 중력장이 보존장임을 보이고

임의의 위치에 있는 여러 질량 m_i에 의해 생기는 보존장의 퍼텐셜의 총합을 구해보자.

 

 

1.중력

중력은 두 질량 사이에서 두 질량 사이에 작용하는 힘입니다.

 

2.중력장

중력장이란 하나의 질량에 의해 공간상에 위치한 1kg에 작용하는 공간에 작용하는 벡터장입니다.

예로 바람, 유동의 속도장이 있으며

스칼라장의 예로는 온도장이 있습니다.

 

3. 중력장은 보존장인가?

중력장이 다음의 조건 중 하나라도 만족한다면 보존장입니다.

이 중에서 4번 curl(F)=0임을 보인다면 경로에 독립한 퍼텐셜(위치에너지)이 존재한다는 것이고

그 퍼텐셜을 정의에 따라 구할 수 있습니다.

이렇게 컬F의 x성분이 0임을 보였습니다. 나머지 y,z 역시 같은 결과가 나오기에 생략했습니다.

 

 

 

위치 r_m에 하나의 질량 m이 존재하고

그 m에 의해 위치 r에 작용하는 중력힘의 퍼텐셜을 구하고

m이 여러개일 때를 시그마로 표현했습니다.

 

그리고 이를 임의의 위치 r' 에의 질량의 분포, 즉 밀도에 따른 위치 r에서의 퍼텐셜을 

적분을 이용해 근사화합니다.

그리고 이후 강의에서는 그 적분을 라플라시안과 르장드르 다항식으로 전개합니다.

 

 

 

출처) 한양대학교 KOCW 고전역학 신상진 교수님 강의 7차시 Potential Theory

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