[고전역학] 가우스법칙(2) : 중력장에 적용하고 지구내부의 퍼텐셜구하기

이전 글에서는 가우스법칙을 간단히 증명하였다. 

오늘은 이 가우스법칙을 중력장에 적용하고 지구 내부의 퍼텐셜을 구해본다.

가우스법칙 증명

 

중력장의 Potential 함수 구하기

 

전기장과 중력장은 뉴턴이론에 의하면 상수계수를 빼고는 거의 같다.

즉, 가우스법칙은 몇개의 상수만 고쳐 중력장에서 적용할 수 있다.

 

1. 전기장과 중력장 비교

 

2. 전기장과 중력장의 가우스법칙 적용

(왼) 전기장의 가우스법칙 (오)중력장의 가우스법칙

전기장 : 가상의 임의의 곡면에 작용하는 총전기력(전기선속)은 그 안의 전하량에 비례한다.

중력장 : 가상의 임의의 곡면에 작용하는 중력장의 총합은 곡면 안의 총질량 M에 비례한다.

 

3. 지구 바깥과 내부에서의 중력장

지구 바깥에서는 중심으로부터 떨어진 거리의 제곱에 반비례하여 중력장이 작용하고(거리가 멀어질 수록 중력이 작아진다.)

지구 내부에서는 중심으로부터 떨어진 거리에 비례하여 중력장이 작용한다.(거리가 멀어질 수록 중력이 커진다.)

 

4. 지구 내부에서의 Potential function(퍼텐셜 함수)구하기

3차원 공간에서 역학적에너지는 위치에너지가 정의될 때 보존됨을 보일 수 있으며

그 정의에 따라 퍼텐셜의 그레디언트에 -부호를 취한 것이 작용하는 벡터장이 됨을 배웠었다.

Potential Theory (퍼텐셜 이론)

이에 따라 지구 바깥에서의 퍼텐셜과 지구 내부의 퍼텐셜을 각각 구하면 외부는 정적분값으로 나오고

내부는 부정적분값으로 적분상수가 나오는데 이는 

지구 내부와 지구 외부의 경계면에서 서로  퍼텐셜이 동일하다는 경계조건을 통해서 적분상수 C를 구할 수 있다.

 

출처) 한양대학교 KOCW 고전역학 신상진 교수님 강의 8차시 가우스 정리, 라머효과