[고전역학] 관성 텐서(inertia tensor)와 관성모멘트(I=mr^2)의 관계, 각운동량 J=Iw 유도

쉽게 쉽게!!!

 

우리가 흔히 공식으로 쉽게 쓰는 관성모멘트는 아래와 같죠

(왼) 질점의 경우                                                 (오)강체-실린더의 경우

이렇게 공식으로 쓰는 이 관성모멘트는 모두 회전축과 일치하고 강체의 중앙을 축으로하는 매우 적절한 축에 대해 정의된 것입니다.

 

이는 축이 정의되지 않은, 정해지지 않은, 어떠한 축에 대해서도 유효한 관성모멘트 텐서(inertia tensor)로부터 적절한 축을 정해 그 축에 대한 질점 혹은 강체의 관성모멘트를 얻은 것입니다.

(관성텐서를 정의할 때 축을 조건하지 않음을 알 수 있습니다. 핵심을 먼저 요약한 뒤 글의 마지막에 유도식을 첨부했습니다.)

 

관성텐서는 다음과 같이 정의됩니다!!

질점의 관성텐서 정의(matrix, 3 by 3)

여러 질점이 모인 강체에 대한 관성텐서는 각각의 질점에 대한 관성텐서를 다 더한 것입니다.

 

우선 예를 들어 한번 적용함으로써 ij가 어떤 의미인지, 정말 우리가 아는 관성모멘트가 나오는지 보겠습니다.

 

위와 같이 한 강체-원통이 있고 이 중에서 하나의 질점에 대한 관성모멘트를 구하고 싶습니다.

이 때의 z축은 회전축과 같으며 매우 적절한 축입니다.

즉 축의 한쪽 끝과 한쪽 끝이 모두 z축에 있어 i와 j에 각각 z를 넣으면

두번째 줄의 식과 같이 소거가 되고 결국 우리가 아는 공식 mr^2이 되며 

강체의 모든 질점에 대해 더하면 강체의 관성모멘트가 될 것입니다.

 

이렇게 매우 적절한 축을 잡으면 관성텐서가 매우 깔끔해지는데요

이런 축을 주축(principle axis)라고 부릅니다.

 

마지막으로 필기로 정리한 각운동량으로부터의 관성모멘트 정의, 유도과정과 그 과정에서 필요한 선형대수의 벡터의 삼중 cross product, dyad product의 간단한 정리를 남기겠습니다.

 

그리고 이로부터 각운동량이 새롭게 표현될 수 있습니다.

각운동량의 기본정의

관성모멘트로 표현된 각운동량

감사합니다.

 

출처) 한양대 KOCW 신상진 교수님 고전역학2 수업 1차시 강체의 회전

고전역학2