라그랑지안으로 운동방정식 세우기(2) : 1자유도계 mck

라그랑지안으로 운동방정식 세우기

본 글은 MIT OCW의 수업내용을 참고했습니다.

 

한 방향으로만 운동하는 1자유도계 mck시스템의 운동방정식을 뉴턴 제 2법칙이 아닌

지난 글에서 소개한 라그랑지안의 방법으로 구해보도록 하겠습니다.

위 링크된 글의 4. 라그랑지안 메뉴얼의 순서대로 진행하겠습니다.

 

1자유도계 mck시스템

라그랑지안 방정식

좌변에 대해서)

1. 시스템의 자유도를 결정하고 일반화된 좌표정하기

m은 위아래방향으로만 운동하는 1자유도계 시스템이며 아래방향을 +x로 좌표를 잡았습니다.

2. complete, independent, holonomic를 모두 만족하는가?

+x좌표를 통해 m의 움직임을 모든시간에 대해 나타낼 수 있고

1개 좌표이므로 independent하며

시스템의 자유도와 일반화된 좌표수가 1개로 같으므로 holonomic합니다.

3. 운동에너지 T와 위치에너지 V 계산하기

4. ①, ②, ③을 각 q_j에 대해 계산하기

1계자유도 시스템이므로 q_j=q_1=x이므로 x에 대해서만 계산하면됩니다.

우변에 대해서)

1. 각 좌표에 있어서 해당 좌표에 작용하는 총 외부 비보존력을 구합니다.

x좌표에서 작용하는 총 외부 비보존력은 외력 F와 뎀핑힘 bx돗입니다.

중력과 용수철힘은 보존력이므로 제외합니다.

 

2. 해당 좌표에 작용하는 외부 비보존력(Q_j)을 총 외부비보존력(시그마F)과 좌표방향 단위벡터의 dot product를 통해 구합니다.

 

 

식 도출) ①+②+③=④

라그랑지안으로 구한 1계자유도 mck시스템의 운동방정식

mg로 인해 용수철이 미소길이만큼 늘어난 정적평형상태에서 생각한다면 용수철힘과 mg값이 상쇄되지만 mg로 인해 용수철이 늘어나기 전부터를 생각하면 mg값이 위 방정식과 같이 남아있게 됩니다.

 

따라서 위 식은 기계진동에서 보는 mx더블돗+cx돗+kx=F(t)와 같음을 알 수 있습니다!!

 

1계 자유도 시스템에서는 뉴턴방정식이나 에너지보존법칙을 이용할 때가 라그랑지안보다 더 쉽고 간편합니다. 

 

다음에는 2계 자유도 시스템의 운동방정식을 라그랑지안으로 도출해보도록 하겠습니다.

 

 

출처) MIT OCW Engineering Dynamics  J. Kim Vandiver

https://www.youtube.com/watch?v=zhk9xLjrmi4

 

감사합니다.