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기계공학부 시절의 기록/제어

라그랑지안으로 운동방정식 세우기(2) : 1자유도계 mck

by juhyeonglee 2020. 5. 21.
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라그랑지안으로 운동방정식 세우기

진동 혹은 동역학적 시스템의 운동방정식을 도출할 때, 1자유도계 시스템에서는 에너지보존법칙 혹은 뉴턴법칙으로 운동방정식을 세울 수 있지만 2계 자유도 시스템 이상에서 부터는 복잡해지�

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본 글은 MIT OCW의 수업내용을 참고했습니다.

 

한 방향으로만 운동하는 1자유도계 mck시스템의 운동방정식을 뉴턴 제 2법칙이 아닌

지난 글에서 소개한 라그랑지안의 방법으로 구해보도록 하겠습니다.

위 링크된 글의 4. 라그랑지안 메뉴얼의 순서대로 진행하겠습니다.

 

1자유도계 mck시스템
라그랑지안 방정식

좌변에 대해서)

1. 시스템의 자유도를 결정하고 일반화된 좌표정하기

m은 위아래방향으로만 운동하는 1자유도계 시스템이며 아래방향을 +x로 좌표를 잡았습니다.

2. complete, independent, holonomic를 모두 만족하는가?

+x좌표를 통해 m의 움직임을 모든시간에 대해 나타낼 수 있고

1개 좌표이므로 independent하며

시스템의 자유도와 일반화된 좌표수가 1개로 같으므로 holonomic합니다.

3. 운동에너지 T와 위치에너지 V 계산하기

4. ①, ②, ③을 각 q_j에 대해 계산하기

1계자유도 시스템이므로 q_j=q_1=x이므로 x에 대해서만 계산하면됩니다.

우변에 대해서)

1. 각 좌표에 있어서 해당 좌표에 작용하는 총 외부 비보존력을 구합니다.

x좌표에서 작용하는 총 외부 비보존력은 외력 F와 뎀핑힘 bx돗입니다.

중력과 용수철힘은 보존력이므로 제외합니다.

 

2. 해당 좌표에 작용하는 외부 비보존력(Q_j)을 총 외부비보존력(시그마F)과 좌표방향 단위벡터의 dot product를 통해 구합니다.

 

 

식 도출) ①+②+③=④

라그랑지안으로 구한 1계자유도 mck시스템의 운동방정식

mg로 인해 용수철이 미소길이만큼 늘어난 정적평형상태에서 생각한다면 용수철힘과 mg값이 상쇄되지만 mg로 인해 용수철이 늘어나기 전부터를 생각하면 mg값이 위 방정식과 같이 남아있게 됩니다.

 

따라서 위 식은 기계진동에서 보는 mx더블돗+cx돗+kx=F(t)와 같음을 알 수 있습니다!!

 

1계 자유도 시스템에서는 뉴턴방정식이나 에너지보존법칙을 이용할 때가 라그랑지안보다 더 쉽고 간편합니다. 

 

다음에는 2계 자유도 시스템의 운동방정식을 라그랑지안으로 도출해보도록 하겠습니다.

 

 

출처) MIT OCW Engineering Dynamics  J. Kim Vandiver

https://www.youtube.com/watch?v=zhk9xLjrmi4

 

감사합니다.

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댓글4

  • 지나가던.. 2022.02.07 17:24

    좌,우변 중 한쪽 부호가 반대로 된 것 아닌가요??
    답글

    • juhyeonglee 2022.02.07 22:58 신고

      오옹 정말 오랜만에 블로그 댓글이에요!! 음.. 저는 아래방향을 플러스로 좌표를 잡고 진행했는데 결과 식을 해석해보면 mg방향도 중력방향으로 플러스, 힘도 아래방향으로 플러스, 뎀핑항은 그 반대로 속도에 비례해서 작용하는 것으로 잘들어맞다고 생각했어요. 다른 생각이 있으신가요?!

  • 지나가던.. 2022.02.09 19:25

    아 맞아요..ㅎㅎ 제가 퍼텐셜에서 습관적으로 방향을 잡아서 방향을 반대로 생각했어요..!
    답글