라그랑지안으로 운동방정식 세우기

진동 혹은 동역학적 시스템의 운동방정식을 도출할 때, 1자유도계 시스템에서는 에너지보존법칙 혹은 뉴턴법칙으로 운동방정식을 세울 수 있지만 2계 자유도 시스템 이상에서 부터는 복잡해지므로 라그랑지안이 더 편리하다고 합니다!

 

카트-진자 시스템을 라그랑지안으로 세워보기 위해 MIT OCW에서 라그랑지안 강의를 듣고 본 글을 작성하였습니다.

 

 

 

• 1.라그랑지안 방정식
• 2. q_j : generalized coordinates
• 3. Independent, Complete, Holonomic
• 4. 단계적 접근방법(라그랑지안 메뉴얼)

 

1. 라그랑지안 방정식

두가지 정의로부터 시작하겠습니다!!!

라그랑지안 = 운동에너지 - 위치에너지 이고

라그랑지안 방정식은 그 아래와 같습니다.

 

그런데 q_j, Q_j가 보입니다. 

q_j : generalized coordinate

Q_j : generalized force : 시스템의 비보존력

일반화된 좌표? 일반화된 힘? j?

우선은 q는 좌표계이고 Q는 시스템의 비보존력이구나 정도로 이해하죠! 2. 의 예2) 에서 이해할 수 있습니다.

(보존력이란 3차원에서 역학적에너지보존을 만족시키는 힘이며 이 때 위치에너지가 존재합니다! 종류로는 용수철힘, 중력 등이 있습니다.)

역학적에너지 보존법칙과 위치에너지정의, 그리고 미분방정식

 

라그랑지안을 방정식에 대입하면 아래 식이 도출되고 이제 그 식을 이용해 운동방정식을 세울 것입니다.

 

위치에너지는 기계시스템에서는 시간에 대한 함수가 아닙니다.(전기장 혹은 자기장에서는 시간에 대한 함수 일 수 있나봅니다.) 위치에너지는 공간에 대한 함수입니다. 따라서 속도에 대한 위치에너지의 미분은 0이 됩니다.(속도는 결국 시간에 대한 함수이므로)

하지만 이 라그랑지안 방정식을 이용하기 위해서는 몇가지 조건이 필요합니다!!!

 

2. q_j : generalized coordinates

자료 : MIT OCW 유튜브

generalized coordinate는 아래 조건들을 만족한다.

1) Not necessarily cartesian

굳이 직각좌표계일 필요는 없다.

2) Not even inertial

관성계일 필요도 없다. 즉, 절대적으로 고정된 좌표계가 아닌 회전하는 계이어도 상관없다.

3) Must be independent & complete

independent(독립적)해야 하며 complete(완전)해야 한다.

4) System must be holonomic

holonomic해야 한다.

 

1,2번은 알겠지만 3,4번은 좀 더 자세한 설명이 필요합니다.

 

3. Independent, Complete, Holonomic

1) Independent

when you fix all but one coordinate, still have a continuos range of movement in the free coordinates

하나의 좌표계만을 남기고 나머지를 모두 고정했을 때, 그 하나는 자유롭게 운동하여야 한다.

 

2) Complete

capable of locating all parts at all times

모든 시간에 모든 것을 표시할 수 있어야 한다.

 

예1)

이러한 시스템을 두개의 진자운동(double pendulum)이라고 합니다. 

m1을 x1과 y1으로 m2를 x2와 y2로 총 4개의 좌표를 이용합니다. 

Complete 한가요?? 네, m1, m2의 모든 시간에서의 모든 움직임을 표현할 수 있습니다.

Independent한가요??  흠...

총 4개의 좌표가 있고 이중 하나만 남기고 고정시켰을 때 해당 강체가 자유롭게 운동한다면 independent하다고 할 수 있습니다. 하지만 이 경우 x1, x2만 고정시켜도 두강체 모두 고정되어 움직이지 못합니다. 

따라서 이같은 좌표는 generalized coordinate가 아니므로 라그랑지안에 사용할 수 없습니다.

 

 

예2)

각1, 각2로 총 두개의 좌표를 이용합니다.

이 두개의 좌표만으로 모든 움직임을 나타낼 수 있으므로 complete합니다.

이 중 하나의 좌표 각1을 고정시키면 m1은 고정되지만 m2는 자유롭게 운동합니다. 따라서 independent합니다!!

따라서 위 좌표는 generalized coordinate이며 각1=q_1, 각2=q_2가 됩니다!!!

 

이제 남은 하나 holonomic이 있습니다.

 

3) Holonomic

# dof's = # coordinates needed to describe motion

총 자유도 수와 움직임을 기술하는데 필요한 좌표계수가 일치한다면 holonomic 합니다. 

이를 만족하지 않는 경우를 예로 들 수 있습니다.

 

예)

x,y평판 위에 검은점이 찍힌 공이 있습니다. 초기상태로 그 점이 천장을 향하도록 공이 놓여있습니다.

공은 미끌리지 않으며(구르기는 가능) z축을 기준으로 회전하지 않고 z축방향(수직방향)으로 움직이지 않습니다.

즉 오로지 x,y축에 대해 회전만 가능합니다. 이 강체의 자유도는 x축 기준 회전각(각1), y축 기준 회전각(각2)로 총 2개입니다.

이 공이 평판을 막 뒹굴렀을 때 그 공의 상태를 각1과 각2만으로 표현할 수 있을까요??

답은 없다입니다. 각1을 +90도 회전하고 각2를 +90도 회전한 공과 각2를 +90도 회전한 뒤 각1을 +90도 회전한 공의 위치는 같지만 점의 위치는 다릅니다. 

공의 위치와 점의 위치를 정확히 기술하기 위해서는 각1,각2, x위치,y위치 총 4개의 좌표가 필요합니다.

따라서 공의 움직임을 기술하는데 필요한 좌표계는 4개이며 공의 자유도는 2이므로 holonomic하지 않습니다.

 

4. 단계적 접근방법(라그랑지안 메뉴얼)

이제 기초는 다졌으니 라그랑지안을 이용해 운동방정식을 세우는 방법을 알아보겠습니다.

라그랑지안 방정식

좌변에 대해서)

1. Determine # dof's & choose q_j

시스템의 자유도를 결정하고 generalized coordinate를 정합니다.

2. verify : complete, independent, holonomic

q_j가 위 세가지를 만족하는지 확인합니다.

3. Compute T & V

시스템의 총 운동에너지와 총 위치에너지를 계산합니다.

4. Compute ①, ②, ③ for each q_j

위 식의 ①, ②, ③을 각 q_j에 대해 계산합니다.

 

우변에 대해서) Q_j 계산하기

Q_j는 외부로부터의 비보존력입니다.

만약 외부로부터의 비보존력이 없다면 우변은 0이 되지만 있다면 계산하여야 합니다.

1. for each q_j, find Q_j that goes with it

각 좌표에 있어서 해당 좌표에 작용하는 Q_j(총 외부 비보존력)을 구합니다.

2. Computing the virtual work associated with the virtual displacement

자료 : MIT OCW 유튜브

각 좌표에 작용하는 Q_j가 그 좌표방향으로 가상의 미소변위를 움직였다고 가정했을 때 증감된 일(에너지)를 통해 Q_j를 구합니다. (이 부분은 저도 예제를 좀 풀어봐야 알 것 같습니다.)

 

다음은 1계자유도 m-c-k 시스템을 라그랑지안을 이용해 운동방정식을 세우는 내용으로 이어가겠습니다.

그다음은 2계자유도가 되겠죠!?

 

출처) MIT OCW Engineering Dynamics  J. Kim Vandiver

https://www.youtube.com/watch?v=zhk9xLjrmi4