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일반가진의 응답, 컨볼루션 적분 유도 그리고 전달함수 이번 글에서는 일반가진에 의한 응답을 구하는 과정을 다루려고 합니다. 우선, 일반가진이란 주기적인 가진과 일시시적인 충격가진을 모두 포함한 임의의 가진을 의미합니다. 이러한 일반가진은 매순간의 충격가진의 총시간에 대한 적분으로 생각할 수 있습니다. 따라서 충격가진에 의한 시스템의 응답을 먼저 구하고 생각해보죠!! 시스템은 m-k시스템이라 가정하겠습니다. 1. 크기가 1인 충격량이 주어졌을 때 시스템의 응답 초기조건이 모두 0인 시스템에 충격량이 1인 충격가진이 주어졌다고 가정합니다. 초기조건을 0으로 한 이유는 자유진동을 하지 않게함으로써 자유진동에 의한 응답을 고려하지 않고 순수 충격가진에 의한 응답만을 보기 위함입니다. 이 때의 식은 아래와 같습니다. 하지만 충격은 매우짧은 순간에 일어나며 매우짧은 .. 2020. 5. 20.
[고전역학] 주축에 대한 관성모멘트 계산(feat. 관성텐서, 평행축이론, 육면체, 구, 원기둥) 본 글에서는 관성텐서와 도심 정의를 이용해 관성모멘트의 평행축정리를 유도하고 관성모멘트를 계산하는 테크닉으로 육면체, 타원구, 타원 원기둥의 주축에 대한 관성모멘트를 구해본다. 1. 평행축 정리 관성 모멘트는 원점과 축에 의존합니다. 원점으로부터의 거리가 멀 수록 값은 커지며 강체의 모양에 적절한 주축을 잡을 때 깔끔한 관성모멘트가 나옵니다. 강체에 있어서 많은 질점들 각각에 대한 관성모멘트를 구해 다 더하면 해당 강체의 관성모멘트를 구할 수 있습니다. 하지만 각 질점들은 질량중심의 위치벡터와 질량중심으로부터의 질점 위치벡터의 합으로 표시할 수 있으며 이 때 질량중심의 정의에 따라 평행축 정리가 유도됩니다. 또, 이로부터 질량중심을 축으로한 관성모멘트는 원점으로부터의 관성모멘트보다 작은데 이는 축으로부터.. 2020. 5. 17.
[고전역학] 각운동량의 미분 그리고 세차운동(precession) 회전하는, 회전축이 기울어진 팽이는 위 그림과 같이 회전축 자체가 한 축을 중심으로 회전합니다. 이러한 운동을 세차운동이라고 합니다. 수업에서는 팽이에 채찍질을 가하지 않아 팽이의 회전속도는 일정하며 각운동량의 축이 회전축과 일치하다는 가정을 했습니다. 이러한 세차운동은 중력으로인한 돌림힘에 의해 발생합니다. 위 그림에서 R벡터와 중력의 크로스product가 돌림힘이며 팽이의 질량중심을 지면으로 들어가는 방향으로 밀어줍니다. (각질점에 대해 각각 계산하여 다 더하는 것은 도심의 정의에 의해 질량중심에 대한 계산과 동일합니다.) 때문에 팽이의 회전축은 크게 회전을 하게 됩니다. 이를 보이기 위해서 각운동량의 미분의 힘에 관련된 식과 운동에 관련된 식을 사용합니다. (밖에서 보았을 때의 각운동량의 속도)= .. 2020. 5. 17.
[고전역학] 주축(Principal axis)의 정의와 고유값 방정식(eigenvalue eq.) 대각화 : 주축(Principle axis)로 축을 회전시키다. 관성 텐서에 있어서 대각화란 한마디로! 축이 정해지지 않은 상태인 관성텐서를 혹은 임의의 축에 대한 관성 텐서를 우리가 원하는 주축에 대한 관성텐서로 변형하는 것입니다. 예를 들면 다음� needs-searcher.tistory.com 축이 정해지지 않은 관성텐서에서 임의의 축을 정하면 해당 축으로부터의 관성모멘트를 구할 수 있었습니다. 그리고 그 축이 주축일 때 관성텐서의 대각성분은 I_1, I_2, I_3만 남고 나머지는 0이 되어 깔끔한 관성모멘트를 얻을 수 있었습니다. 그 방법은 관성텐서를 대각화하기이며 대각화는 축의 회전이라는 것. 그리고 그 조건으로 관성텐서가 Symmetric matrix이어야 한다는 것을 공부했습니다. 이번에는.. 2020. 5. 17.
[고전역학] 강체의 운동에너지, T=wJ/2 먼저 쉽게 질점 부터 생각해보겠습니다. 하나의 질점이 있습니다. 이 질점의 운동에너지는? '이분의 일 엠 브이 제곱' 입니다. 그런데 그 질점이 임의의 회전축을 중심으로 회전하고 있다면 속도 v = w x r (cross product, w:각속도, r:위치벡터)이고 다음과 같습니다. 이 식을 강체에 써먹자니 각각의 질점은 모두 같은 각속도를 가지지만 위치가 다 달라 r벡터가 달라 각 질점에 대한 T를 구해 다 더해야합니다. 이를 뭔가 해당 강체의 질점분포를 대표하는 관성텐서로 표현한다면 쉽게 강체의 운동에너지를 구할 수 있습니다. 그 식은 아래와 같습니다. 관성모멘트는 각운동량에 포함되어 있습니다! 자세한 유도식은 필기로 첨부하겠습니다. 감사합니다. 출처) 한양대 KOCW 신상진 교수님 고전역학2 수업.. 2020. 5. 14.
[고전역학] 대각화 : 주축(Principal axis)로 축을 회전시키다. 관성 텐서에 있어서 대각화란 한마디로! 축이 정해지지 않은 상태인 관성텐서를 혹은 임의의 축에 대한 관성 텐서를 우리가 원하는 주축에 대한 관성텐서로 변형하는 것입니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 위 그림에서처럼 타원에서 임의의 점선의 축을 실선의 주축으로 회전시키는 것이 수학적으로 대각화입니다. 원기둥모양의 강체에서 마찬가지로 임의의 축, 점선축을 주축인 실선축으로 회전시키는 것입니다. 대각화하기 위한 조건과 대각화의 효과 대각화를 하기 위해서는 행렬이 Symmetric 해야합니다. 즉, 관성텐서가 Symmetirc할 때 대각화, 주축으로 회전을 시킬 수 있고 그 결과로 관성텐서는 3개의 component만 남게 됩니다. 마치 벡터처럼 말입니다. 정리 벡터는 3개 요소로 구성되며 3차원 공간에서 시각.. 2020. 5. 14.
미분형 선형운동량 방정식, 왜 필요해? 선형운동량방정식은 검사체적, 미분을 이용해 각각 나타낼 수 있습니다. 검사체적 선형운동량방정식 유체의 운동을 관찰하고 그로부터 유체의 움직임에 의해 수로관이나 비행기의 날개가 받는 힘을 우리는 유체의 선형운동량방정식을 통해서 구할 수 있습니다. 예를 들어서 유체가 흐르는 수로관이 있습니다. 유체가 흐르기 때문에 수로관을 고정시키기 위한 힘을 알면 효율적으로 수로관 고정 설계를 할 수 있습니다. 이 때는 수로관 내부의 세세한 유동보다는 수로관 입출입구의 표면에서의 조건들만을 이용해 그 힘을 구할 수 있습니다. 이것이 바로 유동 내부보다는 검사체적의 표면에 집중한 선형운동량방정식이며 대부분의 경우 이러한 방법을 적용할 수 있습니다. 미분형 선형운동량 방정식 하지만 유체가 파이프 내부에서 속도가 어떻게 변하는.. 2020. 5. 13.
허리디스크 4년차, 대학생의 허리디스크치료법 -허리디스크의 증상은 무엇인가? -병원에서 지속적으로 치료를 받아야 하는지? -허리디스크 통증은 어떻게 줄일 수 있는지(시기별, 통증별) -허리디스크 완치에는 얼마나 걸리는지? : 관리하기에 달렸지만 저의 경우 1,2년 정도 지났을 때 이정도면 완치한 것 같다고 생각했습니다. 모든 내용은 저의 경험을 바탕으로 합니다. 4년전 급작스러운 허리디스크로 한달간 일어서기조차 힘들었던 때에 위의 질문들을 검색했지만 속시원한 글을 보진 못했던 것 같습니다. 이 글이 많은 사람들에게 도움이 되길 바랍니다. 수능이 끝난 직후 한번씩 의자에 앉기 불편한 정도의 통증을 느꼈지만 대수롭지 않게 넘겼고 그 후 약 1년뒤 갑작스럽고 심한 허리통증을 느꼈습니다. 그대로 바닥에 눕고는 일어서질 못했고 약 2주간은 누워서 밥을 먹었.. 2020. 5. 13.
[고전역학] 관성 텐서(inertia tensor)와 관성모멘트(I=mr^2)의 관계, 각운동량 J=Iw 유도 쉽게 쉽게!!! 우리가 흔히 공식으로 쉽게 쓰는 관성모멘트는 아래와 같죠 이렇게 공식으로 쓰는 이 관성모멘트는 모두 회전축과 일치하고 강체의 중앙을 축으로하는 매우 적절한 축에 대해 정의된 것입니다. 이는 축이 정의되지 않은, 정해지지 않은, 어떠한 축에 대해서도 유효한 관성모멘트 텐서(inertia tensor)로부터 적절한 축을 정해 그 축에 대한 질점 혹은 강체의 관성모멘트를 얻은 것입니다. (관성텐서를 정의할 때 축을 조건하지 않음을 알 수 있습니다. 핵심을 먼저 요약한 뒤 글의 마지막에 유도식을 첨부했습니다.) 관성텐서는 다음과 같이 정의됩니다!! 여러 질점이 모인 강체에 대한 관성텐서는 각각의 질점에 대한 관성텐서를 다 더한 것입니다. 우선 예를 들어 한번 적용함으로써 ij가 어떤 의미인지, .. 2020. 5. 13.
유동함수를 통해 유량을 계산하고 원통좌표계로 표현하기 정상, 비정상, 압축성, 비압축성 모두에서 유효한 연속방정식에서 시작합니다. 가정. 정상상태, 비압축성, 평면(2차원)유동 여기서 정상상태, 비압축성, 평면, 즉 2차원 유동으로 가정합니다. 이는 가장 단순하면서도 실제에 유용하며 파이프 운동이나 회전 물체 주위의 유동과 같은 축대칭 유동과 2차원 압축성 유동들에 대해서 적용되는 유동함수를 유도하기 위함입니다. 위 가정으로 연속방정식이 어떻게 간단화되는지 보겠습니다. 먼저 정상상태이므로 첫째항인 밀도의 시간 편미분은 0이됩니다. 또, 비압축성이기 때문에 둘째항의 밀도가 결과적으로 없어집니다. 그러면 아래와 같이 됩니다. 또 여기서 마지막으로 2차원 유동이므로 z축을 고려하지 않습니다. 그러면 아래와 같이 됩니다. 여기서 스칼라값인 유동함수를 정의할 것입니.. 2020. 5. 11.
질량보존법칙에서 연속방정식을 유도하고 미분형으로 나타내기 흐르는 유체에서 특정 질량의 유체를 시스템으로 정의하면 그 시스템의 질량은 당연히 변하지 않습니다. 이를 지난 글에서 다룬 물질미분으로 표현하면 다음과 같습니다. 이제 레이놀즈수송정리를 이용해 유체를 더 이해하기 쉽게하기 위해 검사체적을 가져오겠습니다. 초기 시스템의 체적을 검사체적으로 잡고 그 검사체적을 시간에 따라 변하지 않는다고 가정하겠습니다. 아래의 그림을 보면 시스템(임의의 질량의 관심 유체)이 처음에는 빨간모양으로 있습니다. 이 때의 부피를 검사체적으로 잡으면 시간이 지나 유체가 흐른뒤의 시스템은 파란색이고 검사체적은 공간에 고정되어 있으므로 빨간색입니다. 이 때, 시스템의 질량은 여전히 변함이 없으며 이를 검사체적을 통해 나타낼 수 있습니다. 따라서 (시스템의 총질량 변화) = (검사체적 내.. 2020. 5. 11.
[고전역학] 강체의 회전(1) : 3차원, 크기와 방향이 변하는 각속도 회전축을 중심으로 회전하는 강체의 하나의 질점을 밖에서 본 속도는 위의 식과 같다. 크기가 일정하고 방향이 일정한 각속도는 그냥 저식을 쓰면 된다. 하지만 각속도의 크기와 방향이 시간에 따라 변한다면 그 각속도는 어떻게 우리가 정의할 수 있을까 핵심은 매순간 변하는 각속도를 변하기 전의 각속도의 방향좌표를 이용해 나타내는 것이다. 이렇게 한다면 하나의 좌표축으로 변하는 각속도를 계속해서 표현할 수 있다. 바로 시작해보자 위와 같이 강체의 각속도가 변한다. 매순간 강체에 올라탄 관점에서 r은 속도가 없으며 밖에서 본 r의 속도는 그 순간의 각속도와 위치벡터의 외적이다. 문제는 이 w가 변하는 것이고 우리는 이를 e벡터로 계속해서 나타내고 싶은 것이다. 교수님의 말씀을 인용하면 더 이해가 쉬울 것 같다. 즉.. 2020. 5. 10.

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